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急求一道数学题！

8．函数f（x）的定义域为R，若f（x-1）与f（x+1）都是奇函数，则 A．f(x) 是偶函数 B．f(x) 是奇函数 C． f(x)=f（x+2） D． f（x+3）是奇函数最好附带解答过程！谢谢

被浏览: 0次 2023年04月23日 06:30

热门回答（3个）

游客1

D
1由f(x+1)和f(x-1)都是奇函数得：
f(-x+1)=-f(x+1) .......(1)
f(-x-1)=-f(x-1) .......(2)
令t=x+1,则x=t-1 ,代入含皮郑（1）和（2）并整理得
f(2-t)=-f(t) ......(3)
f(-t)=-f(t-2) .......(4)
由（4）得f(t)=-f(-t-2)代入（3）得
f(2-t)=f(-t-2)即f(2+t)=f(t-2)
可知4是函握毁数f(t)的一个周期。
所以f(x+3)=f(x-1)是奇函数。

2只需通过特殊的函数来验证：比如
1.y=f(x)=cos兀x/2时，知f(x)是奇函数、f(x)=f(x+2) 都错
2.y=f(x)=sin兀x时，知谈颂f(x)是偶函数错。
由上述可得
1、f(x)是偶函数错
2、f(x)是奇函数错
3、f(x)=f(x+2) 错
4、f(x+3)是奇函数